Oversigt
Forrige side: To-dimensionelle uendelige mønstre
Næste side: "Skæve" fliser

Symmetrigrupper

Indhold:

• Tapeter (Wallpapergroups)
• Mønstrenes grammatik
• Nøgle til symmetrigrupperne
• Oversigt over symmetrigrupperne

Tapeter

Matematikerne deler alle todimensionale symmetriske mønstre ind i forskellige symmetrigrupper, eller "tapetgrupper", som de også kaldes (fra engelsk: Wallpapergroups). For omkring 100 år siden blev det bevist at der kun findes 17 sådanne forskellige grupper. Der var flere matematikere der uafhængigt af hinanden opdagede og beviste denne begrænsning.

Mønstrenes grammatik

For ikke matematikere kan det være svært at forstå at mønstre med meget forskellige farver og former kan høre til samme symmetrigruppe. Når matematikerne alligevel sætter sådanne tilsyneladende meget forskellige mønstre i samme "bås", skyldes det at matematikeren kun ser på hvilken kombination af isometriske flytninger der er blevet brugt til at skabe mønsteret, og ikke på hvilke former og farver der er brugt. Symmetrigrupperne kan kaldes mønstrenes grammatik. Præcis som et sprogs grammatik fortæller meget lidt om indholdet i en tekst, men en masse om sprogets opbygning, fortæller "mønstrenes grammatik" meget lidt om mønsterets udseende, men en masse om hvordan mønsteret er bygget op.

To mønstre, der ser meget forskellige ud. Alligevel tilhører de samme symmetrigruppe, nemlig den der kaldes p2.

Ved hjælp af en simpel "symmetri-nøgle" som vist nedenfor, kan man lære at bestemme et mønsters symmetrigruppe. I "Galleriet" er der eksempler fra alle symmetrigrupperne. Prøv at bestemme nogle af mønstrenes symmetrigruppe ved hjælp af nøglen.

Prøv også at bruge nøglen på nogle af de mønstre du kan finde på Internettet og besøg evt. et museum med brugskunst eller tekstiler med det formål at analysere mønstre. Alternativt kan man låne bøger med billeder af forskellige mønstre på biblioteket. Med lidt øvelse og nøglen i hånden er det faktisk ikke så svært. Det kan være en god ide at benytte tabellen herunder til at få et hurtigt overblik over symmetrigrupperne og deres isometriske flytninger.

Nøgle til symmetrigrupperne

Vælg først mønsterets mindste rotationsgrad, og besvar derefter de spørgsmål der stilles. Linkene til de enkelte symmetrigrupper fører til en interaktiv illustration af det pågældende mønster. Brug browserens tilbagetast, hvis du vil tilbage til nøglen.

Hvad er den mindste rotationsgrad?

• Ingen rotation
• 180º 
• 90º
• 120º
• 60º

Mønstre uden rotation

Er der en spejling?

• Ja, der er en spejling.
  Er der en glidespejling i en akse der ikke er spejlingsakse?
  • Ja: cm
  • Nej: pm

• Nej, der er ingen spejling.
  Er der en glidespejlning?
  • Ja: pg
  • Nej: pl

  Til starten af nøglen

Mønstre med 180º rotation

Er der en spejling?

• Ja, der er en spejling
  Er der en spejling i to retninger?
  • Ja, der er spejling i to retninger.
    Er alle rotationscentre på spejlingsakser?
    • Ja: pmm
    • Nej: cmm
      
  • Nej, der er ikke spejling i to retninger: pmg
    
    
• Nej, der er ingen spejling
  • Er der en glidespejlning?
    • Ja: pgg
    • Nej: p2

Til starten af nøglen

Mønstre med 90º rotation

Er der en spejling?

• Ja, der er en spejling.
  Er der spejlinger i akser der krydser i en vinkel på 45º?
  • Ja: p4m
  • Nej: p4g
    
    
• Nej, der er ingen spejling: p4

Til starten af nøglen

Mønstre med 120º rotation

Er der en spejling?

• Ja, der er en spejling.
  Er alle rotationcentre på spejlingsakser
  • Ja: p3m1
  • Nej: p31m
    
• Nej, der er ingen spejling: p3

Til starten af nøglen

Mønstre med 60º rotation

Er der en spejling?

• Ja, der er en spejling: p6m
• Nej, der er ingen spejling: p6

Til starten af nøglen

Nøglen er oversat fra "Washburn and Crowe".

Oversigt over symmetrigrupperne

Klik på linkene for at se en interaktiv demonstration af hvordan et mønster i den valgte symmetrigruppe kan konstrueres. Brug browserens tilbagetast for at returnere til denne oversigt.

Oversigt
Forrige side: To-dimensionelle uendelige mønstre
Næste side: "Skæve" fliser